Hors-Série IA 2020



Qu'est-ce que la Loi des grands nombres ?

La loi des grands nombres est issue des travaux du mathématicien suisse Jacques Bernoulli (1654-1705).

Elle formalise une règle que tout un chacun admet très naturellement (mais que Bernoulli a tout de même mis 20 ans pour démontrer). D’après cette loi, une expérience comme un lancer d’une pièce de monnaie que l’on répète beaucoup de fois finit par donner autant de fois pile que face. Le pourcentage de chacun de ces deux événements converge donc vers leur espérance mathématique de 50%.

Le « théorème faible des grands nombres de Bernoulli » est à la base de la théorie des sondages. Il s’énonce comme suit (avec S représentant le nombre de succès, n le nombre de répétitions et p la probabilité du succès) :

Formellement, “pour une expérience donnée, dans le modèle défini par une loi de probabilité p, les distributions des fréquences calculées sur des séries de taille n se rapprochent de p quand n devient très grand”.

Appliqué aux échantillons d’enquêtes, lorsqu’on effectue un tirage aléatoire dans une population de grande taille, plus l’échantillon choisi est grand, plus ses caractéristiques sont proches de celles de la population-mère. Cette règle s’applique bien entendu uniquement dans le cadre d’un tirage parfaitement aléatoire. Il est à noter que la taille de la population-mère n’a que peu, voire pas d’importance, ce qui permet d’utiliser des échantillons de même taille pour des études aux Etats-Unis, en France ou en Belgique, sans grande influence sur la précision obtenue.

Etant donné que plus l’échantillon est important, plus il est fidèle, on peut définir la taille à utiliser en fonction d’une marge d’erreur acceptable à un seuil de confiance donné.

La formule de calcul pour un échantillon n est la suivante, pour une proportion observée de p (ex : 50%) et une marge d’erreur souhaitée de e (ex : +/- 2%), c étant un coefficient dont la valeur dépend du seuil de confiance souhaité (ex : 1,645 pour 90%, 1,960 pour 95%, 2,567 pour 99%, 3,291 pour 99,9%) :

Comme le constatait Poisson en 1837, « Les choses de toutes natures sont soumises à une loi universelle qu’on peut appeler La loi des grands nombres ». Cette loi tellement logique révèle curieusement, à bien y réfléchir, une sorte d’ordre naturel du monde, laissant à penser que le hasard n’existe pas vraiment en définitive (ou se cantonne tout au plus dans les expériences isolées ou peu nombreuses).