Analyse de séries chronologiques

Séries chronologiques (ou temporelles)

Une série chronologique dite également série temporelle est une suite d’observations (mesures) numériques représentant l’évolution d’une quantité spécifique au cours du temps de façon réguilière. Le temps est défini comme variable discrète et les données observées peuvent être quotidiennes, hebdomadaires, mensuelles, …

Graphiquement, on obtient une courbe (ligne brisée) qui évolue au fil du temps (ex : nombre de vente quotidienne d’un produit). L’utilisation de ces séries peut avoir plusieurs objectifs : faire des prévisions, évaluer les variations saisonnières ou encore déterminer si une évolution qui vient d’être constatée provient d’un concours de circontances ou non.

Un série temporelle repose sur la décomposition de la variable observée selon le temps en plusieurs composantes :

– la tendance (trend) : observée sur une longue durée, elle traduit l’orientation (baisse ou hausse) générale de la série étudiée

– le mouvement saisonnier (composante saisonnière) : variation due à un effet momentané se reproduisant à intervalles réguliers (ex : la consommation de glace est liée à la saison, au climat, au vacances)

– le mouvement accidentel ou résiduel (composante accidentelle ou résiduelle ) : variation accidentelle, due à un évènement, inabituelle pour une saison donnée (ex : forte baisse des températures en été qui entraine une augmentation de l’éléctricité (chauffage) sur cette période). Cette partie est aléatoire.

– le mouvement cycle (composante cyclique) : tout comme le mouvement saisonnier, il s’agit d’un phénomène qui se répète dans le temps mais sur des durées plus longues et irrégulières. L’existence de ce cycle apparait rarement évident et est donc souvent associé à la notion de tendance.

Ces différents éléments peuvent s’additionner ou se multiplier. On obtient alors les schémas de décomposition suivants :

(Notons Y(t) la valeur de la série, T(t) la tendance, S(t) les variations saisonnières et E(t) les variations accidentelles)

1. Modèle additif : Y(t) = T(t) + S(t) + E(t)

On suppose alors que les 3 observations sont indépendantes les unes des autres. Visuellement, on obtient un tracé dont l’amplitude des variations est constante autour de la tendance.

2. Modèle multiplicatif 1 : Y(t) = T(t) x S(t) + E(t)

On suppose alors que la composante saisonnière dépend de la tendance. Visuellement, on obtient un tracé dont l’amplitude des variations saisonnières est proportionnelle à la tendance.

3. Modèle multiplicatif 2 : Y(t) = T(t) x S(t) x E(t)

On suppose alors que les composantes saisonnières et accidentelles dépendent de la tendance. Si la série est positive, ce modèle est équivalent au modèle additif en passant par les logarithmes : ln(Y(t)) = ln(T(t)) + ln(S(t)) + ln(E(t))

La différence entre les 2 modèles multiplicatifs réside dans l’estimation de E(t) qui ne joue pas un rôle fondamental.

Afin de choisir le modèle adapté, nous avons recours à 3 méthodes :

1. Méthode de la bande : A partir du graphe de la série, on trace deux droites, l’une passant par les minima et l’autre par les maxima de chaque saison. Si ces 2 droites sont parallèles, le modèle est alors additif sinon multiplicatif.

2. Méthode du profil : A partir du graphe des courbes superposées (graphique sur lequel on trace une courbe pour chacune des années représentant ainsi l’évolution annuelle de la grandeur observée par trimestre par exemple), si l’on constate que les courbes sont à peu près parallèles (varie de la même manière) le modèle est alors additif sinon multiplicatif.

3. Méthode analytique (Tableau de Buys et Ballot) : On calcule pour chacune des périodes considérées la moyenne et l’écart-type puis on trace la droite des moindres carré : (abscisse = moyenne et ordonnée = écart-type)

Si le coefficient a de la pente est quasi nul (l’écart-type est indépendant de la moyenne), le modèle est additif sinon multiplicatif.

Un série chronologique permet donc d’analyser, de décrire et d’expliquer un phénomène au cours du temps afin d’en tirer des conséquences pour des prises de décision (marketing par exemple).

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