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La
loi des grands nombres
est issue des travaux
du mathématicien
suisse Jacques Bernoulli
(1654-1705).
Elle formalise une
règle que
tout un chacun admet
très naturellement
(mais que Bernoulli
a tout de même
mis 20 ans pour
démontrer).
D’après
cette loi, une expérience
comme un lancer
d’une pièce
de monnaie que l’on
répète
beaucoup de fois
finit par donner
autant de fois pile
que face. Le pourcentage
de chacun de ces
deux événements
converge donc vers
leur espérance
mathématique
de 50%.
Le « théorème
faible des grands
nombres de Bernoulli
» est à
la base de la théorie
des sondages. Il
s’énonce
comme suit (avec
S représentant
le nombre de succès,
n le nombre de répétitions
et p la probabilité
du succès)
:
Formellement,
“pour une expérience
donnée, dans
le modèle
défini par
une loi de probabilité
p, les distributions
des fréquences
calculées
sur des séries
de taille n se rapprochent
de p quand n devient
très grand”.
Appliqué
aux échantillons
d’enquêtes,
lorsqu’on effectue
un tirage aléatoire
dans une population
de grande taille,
plus l’échantillon
choisi est grand,
plus ses caractéristiques
sont proches de
celles de la population-mère.
Cette règle
s’applique
bien entendu uniquement
dans le cadre d’un
tirage parfaitement
aléatoire.
Il est à
noter que la taille
de la population-mère
n’a que peu,
voire pas d’importance,
ce qui permet d’utiliser
des échantillons
de même taille
pour des études
aux Etats-Unis,
en France ou en
Belgique, sans grande
influence sur la
précision
obtenue.
Etant donné
que plus l’échantillon
est important, plus
il est fidèle,
on peut définir
la taille à
utiliser en fonction
d’une marge
d’erreur acceptable
à un seuil
de confiance donné.
La formule de calcul
pour un échantillon
n est la suivante,
pour une proportion
observée
de p (ex : 50%)
et une marge d’erreur
souhaitée
de e (ex : +/- 2%),
c étant un
coefficient dont
la valeur dépend
du seuil de confiance
souhaité
(ex : 1,645 pour
90%, 1,960 pour
95%, 2,567 pour
99%, 3,291 pour
99,9%) :
Comme
le constatait Poisson
en 1837, «
Les choses de toutes
natures sont soumises
à une loi
universelle qu’on
peut appeler La
loi des grands nombres
». Cette loi
tellement logique
révèle
curieusement, à
bien y réfléchir,
une sorte d’ordre
naturel du monde,
laissant à
penser que le hasard
n’existe pas
vraiment en définitive
(ou se cantonne
tout au plus dans
les expériences
isolées ou
peu nombreuses). |
